二項分布の4次のモーメントの導出

前回までで3次のモーメントをやったんだから次は4次だろう（安易）。

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原点まわりのモーメントの導出

まず、モーメント母関数を3回微分したのものがこちら。

　　 $\begin{split} f^{\prime\prime\prime}(\xi) &= np \{ (n-1) 2pe^{2\xi}(pe^\xi + q)^{n-2} + (n-1)(n-2)p^2e^{3\xi}(pe^\xi +q)^{n-3}\\ \\ &\quad + e^\xi (pe^\xi + q)^{n-1} + (n-1)pe^{2\xi} (pe^\xi + q)^{n-2} \} \end{split}$

これを、（大変に面倒くさいけど）さらにもう1回微分すると、

　　 $\begin{split} f^{\prime\prime\prime\prime}(\xi) &= np \{ 4(n-1)pe^{2\xi} (pe^\xi + q)^{n-2} + 2(n-1)(n-2)p^2e^{3\xi}(pe^\xi +q)^{n-3}\\ \\ &\quad + 3(n-1)(n-2)p^2 e^{3\xi}(pe^\xi + q)^{n-3} + (n-1)(n-2)(n-3) p^3e^{4\xi} (pe^\xi + q)^{n-4} \\ \\ &\quad + e^\xi(pe^\xi + q)^{n-1} + (n-1) pe^{2\xi}(pe^\xi + q)^{n-2} \\ \\ &\quad + 2(n-1) pe^{2\xi}(pe^\xi + q)^{n-2} + (n-1)(n-2) p^2e^{3\xi}(pe^\xi + q)^{n-3} \} \end{split}$

このような形になる。次に、 $\xi =0$ とおき、次数を揃えながら整理していくと、

　　 $\begin{split} f^{\prime\prime\prime\prime}(0) &= np \{ 4(n-1)p + 2(n-1)(n-2)p^2 + 3(n-1)(n-2)p^2 + (n-1)(n-2)(n-3) p^3 \\ \\ &\quad + 1 + (n-1) p + 2(n-1) p + (n-1)(n-2) p^2 \}\\ \\ &= np \{ (n-1)(n-2)(n-3) p^3 + [(n-1)(n-2) + 2(n-1)(n-2) + 3(n-1)(n-2) ] p^2 \\ \\ &\quad + [ 4(n-1) + 2(n-1) + (n-1)]p + 1 \}\\ \\ &= np \{ (n-1)(n-2)(n-3) p^3 + 6(n-1)(n-2)p^2 + 7(n-1)p + 1 \} \\ \\ &= n(n-1)(n-2)(n-3) p^3 + 6n(n-1)(n-2)p^3 + 7n(n-1)p^2 + np \end{split}$

が求まる。これが二項分布の4次の原点まわりのモーメントである。

平均値まわりのモーメントの導出

次に、平均値まわりでのモーメントを求めてみよう。求める値は、

　　 $\displaystyle \begin{split} m_4 &= E\big( (x - \mu)^4 \big) = E(x^4 -4x^3 \mu + 6x^2\mu^2 -4x\mu^3 + \mu^4 )\\ \\ &= E(x^4) -4\mu E(x^3) + 6\mu^2 E(x^2) -4\mu^3 E(x) + \mu^4 \\ \\ &= E(x^4) -4\mu E(x^3) + 6\mu^2 E(x^2) -3\mu^4 \end{split}$

である。各項に原点まわりのモーメントを代入すると、

　　 $\begin{split} m_4 &= n(n-1)(n-2)(n-3)p^4 + 6n(n-1)(n-2)p^3 + 7n(n-1)(n-2)p^2 + np \\ \\ & \quad - 4np\{n(n-1)(n-2)p^3 + 3n(n-1)p^2 + np\} + 6n^2p^2 \{n(n-1) + np\} -3n^4p^4 \end{split}$

となる。とりあえず強引に全部展開すると、

　　 $\begin{split} m_4 &= n(n-1)(n-2)(n-3)p^4 + 6n(n-1)(n-2)p^3 + 7n(n-1)(n-2)p^2 + np \\ \\ & \quad - 4n^2(n-1)(n-2)p^4 -12n^2(n-1)p^3 -4n^2p^2 + 6n^3(n-1)p^4 +6 n^3p^3 -3n^4p^4 \end{split}$

になり、それを $p$ の次数で整理すると、

　　 $\begin{split} m_4 &= (3n^2 -6n)p^4 + (-6n^2 +12n)p^3 + (3n^2 -7n)p^2 + np \end{split}$

が得られる。3次までの平均まわりのモーメントでは、 $np$ および $(1-p)$ が登場していたことに注意をしつつ、これを因数分解していくと、

　　 $\begin{split} m_4 &= (3n^2 -6n)p^4 + (-6n^2 +12n)p^3 + (3n^2 -7n)p^2 + np \\ \\ &= 3n^2p^4 - 6np^4 -6n^2p^3 + 12np^3 + 3n^2p^2 - 7np^2 + np \\ \\ &=np\{ 3np^3 - 6p^3 -6np^2 + 12p^2 + 3np - 7p + 1 \}\\ \\ &=np\{ 3np^3 - 6np^2 + 3np - 6p^3 + 12p^2 - 6p + 1 - p \}\\ \\ &=np\{ 3np(p^2 - 2p + 1) -6p (p^2 -2p + 1) + 1 - p \}\\ \\ &=np\{ 3np(1 - p)^2 -6p (1 - p)^2 + 1 - p \} \\ \\ &=np\{ (3np -6p)(1 - p)^2 + 1 - p \} \\ \\ &=np(1-p)\{(3np -6p)(1 - p) + 1 \} \\ \\ &=np(1-p)\{1+ 3(n - 2)p(1 - p)\} \end{split}$